Θα σας περιγράψω κάτι που συμβαίνει κάθε χρόνο μέσα στην τάξη.
Το πρόβλημα που είχαν να λύσουν οι μαθητές ας ήταν να βρουν την περίμετρο του κύκλου ακτίνας $ρ=2$. Το αποτέλεσμα για όσους θυμούνται είναι το $Π=2πρ$ και άρα στην περίπτωσή μας $Π=2π\cdot 2 = 4π$. Οι μαθητές λοιπόν ούτε κατάλαβαν ότι τελείωσε το αποτέλεσμα και επιμένουν να αντικαταστήσουν το $π$ με το $3,14…$.
“Βρε καλά μου παιδιά, το $π$ όποιος αριθμός και να είναι θα πολλαπλασιαστεί με το 4 και θα δώσει το αποτέλεσμα.”
“Ναι κύριε αλλά εμείς θα το αφήνουμε έτσι?”
“Αν θέλετε αντικαταστήστε το”
“Κύριε μέχρι το $3,14$ ή και τα περισσότερα ψηφία του?”
Εδώ ταιριάζει ένα ανέκδοτο.
Ένας μαθηματικός ένας φυσικός και ένας πολιτικός μηχανικός μιλάνε για το π. Πετάγεται ο μαθηματικός και λέει ότι το π είναι η περίμετρος του κύκλου προς την διάμετρο. Ο φυσικός όλο περιφρόνηση του λέει “Και γιατί δεν το βάζεις 3,14?”. Παρεμβαίνει και ο πολιτικός μηχανικός “Βάλε το 3 να τελειώνουμε”
Σε άλλη περίπτωση και πάλι μέσα στην τάξη, μετά από μεγάλη άσκηση με πολλά ενδιάμεσα βήματα καταλήγουμε στην παράσταση
$$A=\int_{1}^{2}x^2dx$$
και απλά τους λέω ότι ξέρουν πώς να συνεχίσουν. Κύριε δεν μπορείτε να τελειώσετε την άσκηση να την δούμε ολόκληρη? Γ Λυκείου, ασκήσεις επανάληψης, από τα πιο απλά ολοκληρώματα και επιμένουν να δουν τις πράξεις
$$A=\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$$
Δεν αναφέρομαι στην δυσκολία ή στην μη κατανόηση της θεωρίας. Εκεί με χαρά θα του δείξω. Αντίθετα, ο μαθητής θέλει ή καλύτερα απαιτεί να την ΔΕΙ τελειωμένη. Θέλει το αποτέλεσμα. Τις πράξεις.
Έχουν νόημα λοιπόν οι πράξεις ή αρκεί το $4π$ ή το $A=\int_{1}^{2}x^2dx$ ή ακόμα και το $4+3$?
Από τον ορισμό του Αριστοτέλη “Η επιστήμη της ποσότητας” μέχρι τον ορισμό “Ένα γενικευμένο πεδίο μελέτης στο οποίο μελετώνται οι ιδιότητες και οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ ιδεατών αντικειμένων” (Wolfram mathworld) κανείς δεν μπόρεσε με ακρίβεια να ορίσει τα μαθηματικά. Ας δούμε λοιπόν τι κάνουν τα μαθηματικά.
- Όλα ξεκινάνε με μία απορία για τον πραγματικό κόσμο.
- Για να λυθεί αυτή η απορία πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την κατάλληλη θεωρία από τα μαθηματικά
- Να κάνουμε πράξεις σύνθετες, υπολογισμούς για να δούμε τα αποτελέσματα
- Και να τα ταιριάξουμε με τον πραγματικό κόσμο ώστε να επαληθεύσουμε ή να προβλέψουμε κάτι αντίστοιχο
Όλα τα παραπάνω βήματα μαθαίνονται από το σχολείο. Δεν λύνουμε όλα μα όλα τα προβλήματα, αλλά παίρνουμε μία ιδέα ή ακόμα περισσότερο μαθαίνουμε τον τρόπο να χρησιμοποιούμε το μυαλό μας ώστε να λύνουμε τα προβλήματα με αυτόν τον τρόπο.
Η ένστασή μου είναι το 3ο βήμα. Οι υπολογισμοί. Και για να μην παρεξηγηθώ, δεν λέω ότι δεν χρειάζεται το 3ο βήμα, αλλά ότι δεν χρειάζεται να κάνουμε εμείς τις πράξεις με μολύβι και χαρτί. Έχουμε κομπιουτεράκια και υπολογιστές. Τι θα γίνει αν το αποτέλεσμα στο $A=\int_{1}^{2}x^2dx$ είναι $\frac{7}{3}$ ή $\frac{8}{3}$? Τι θα κερδίσω αν κάνω εγώ τις πράξεις και όχι ο υπολογιστής?
Υποτίθεται την θεωρία την γνωρίζω και ξέρω τι χρειάζεται να κάνω. Δεν ξέρω να ολοκληρώνω? Θα διαβάσω σωστά και θα μάθω όλες τις συναρτήσεις. Δεν ξέρω τι σημαίνουν οι αριθμοί στο ολοκλήρωμα? Θα διαβάσω καλά τα ορισμένα ολοκληρώματα και θα μάθω τι είναι. Δεν ξέρω να κάνω πράξεις με κλάσματα? Δεν ξέρω να κάνω πρόσθεση?… Μπορείτε να πάτε όσο θέλετε προς τα πίσω. Πάντα θα υπάρχει ένα κενό στο διάβασμα αν δεν μπορείτε να κάνετε υπολογισμούς-πράξεις. Διορθώνεται με διάβασμα. Είναι λοιπόν σημαντικό να μάθουμε τον αλγόριθμο και όχι τις πράξεις για όλους τους συνδυασμούς αριθμών.
Πότε επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε το κομπιουτεράκι? Μετά από 3 πράξεις που έχουμε κάνει στο χαρτί? Μετά από 10? 20?
Ας πούμε ότι δεν χρειάζονται υπολογιστές. Όλα στο χαρτί. Στη Β Γυμνασίου κάποιες ασκήσεις καταλήγουν σε $\sqrt{2}$. Μας λέει ο καθηγητής λοιπόν ότι είναι περίπου $1,4$. Πιο μετά οι πράξεις καταλήγουν στο $\sqrt{3}$. “Κύριε πόσο περίπου είναι?”. Δηλαδή, χρησιμοποιούν αποτελέσματα πράξεων χωρίς να γνωρίζουν όχι μόνο πόσο κάνουν κάποιοι αριθμοί (ούτε στο περίπου), αλλά ούτε ακόμα και πώς τους βρήκαμε. Ας αφήσουμε τις ρίζες. Πάμε στην τριγωνομετρία. Πίσω στο βιβλίο έχει το γνωστό “πινακάκι” με όλα τα ημίτονα, συνημίτονα και εφαπτόμενες. Είναι λοιπόν σωστό να πάρουμε το αποτέλεσμα κατ’ ευθείαν χωρίς να το υπολογίσουμε μόνοι μας και λάθος να το αφήσουμε π.χ. $ημ 23$. Θυμάμαι χαρακτηριστικά ένα βιβλίο του Σταματόπουλου στην Φυσική που δεν είχε τα αποτελέσματα σε νούμερα. Τα είχε σε τύπο. Αν ήθελες αντικαθιστούσες τα όποια δεδομένα.
Το αστείο είναι ότι ούτε αναφορά κάνουμε στο πώς υπολογίζονται αυτοί οι αριθμοί. Πώς ο υπολογιστής “ξέρει” το $\log 2$, το $π$, το $e$ ή το $ημ 1$? Δεν λέω να μάθουμε θεωρία Taylor ή Fourier στο Γυμνάσιο, αλλά να ξέρουν ότι υπάρχει ένα πολυώνυμο για κάθε “γνωστή” συνάρτηση που υπολογίζει κάθε τιμή της.
Τι πιστεύω? Χάνουμε πολύ χρόνο σε πράξεις. Υπερβολικό χρόνο.
Τα μαθηματικά αδιαμφισβήτητα είναι υπέροχο μάθημα. Υπάρχει όμως κάτι που το κρατά πίσω στον χρόνο. Ενώ είναι Η επιστήμη, σύγχρονη, αποτελεσματική και απόλυτα αναγκαία, δεν διδάσκεται με το τι μπορεί να κατορθώσει κανείς. Ζητά να βρούμε πόσα καρπούζια πούλησε ο παραγωγός ενώ μπορούμε να βρίσκουμε πόσο αυξήθηκε ο πληθυσμός της γης. Ζητά να υπολογίσουμε τις ρίζες της εξίσωσης $x^2+x-1=0$ με ριζικά ενώ μπορούμε να βρίσκουμε τις ρίζες της $π x^2+x ημ 2-\sqrt{12}=0$. Ζητά να υπολογίζουμε το$A=\int_{1}^{2}x^2dx$ ενώ μπορούμε να υπολογίσουμε το $A=\int_{1}^{2}e^{x^2}dx$.
Υπάρχει ένα τεράστιο κενό μεταξύ μαθήματος (σχολικού) και πραγματικής ζωής. Οι μαθητές θα μπορούν κάλλιστα την στιγμή που μαθαίνουν τον μέσο όρο, να έχουν στα χέρια τους τα δεδομένα για ολόκληρο τον κόσμο, σε κάθε τομέα, για ότι επιθυμούν να μελετήσουν. Πρέπει να υπολογίσουν τον μέσο όρο των $5, 4, 2$ ενώ μπορούν να υπολογίζουν τον μέσο μισθό ενός υπαλλήλου στα ΕΛΤΑ.
Γιατί περιμένουμε έκθεση της commission ενώ μπορούμε υπολογίζουμε με υπολογιστή τα στατιστικά μόνοι μας?
Τι κερδίζουμε χωρίς πράξεις? Τον υπόλοιπο χρόνο μπορούμε να τον διαθέσουμε και μόνο στην αναφορά ότι υπολογίζονται με “κάποιον” τρόπο και πιο σύνθετα μαθηματικά. Π.χ. δεν είναι κακό να αναφέρουμε ότι υπάρχει τύπος για 3βάθμια ή για 4βάθμια εξίσωση. Όχι να τον γράψουμε, αλλά να αναφέρουμε την ύπαρξη. Υπάρχουν τόσα λογισμικά μετά που μπορούν να υπολογίσουν τις ρίζες. Γιατί να μην αναφέρουμε τις αριθμητικές μεθόδους για κάθε εξίσωση?
Τώρα στο αν ταιριάζει στο Ελληνικό σύστημα, θα πω απολύτως. Εμείς μάθαμε στους μαθητές μας να κάνουν ξανά και ξανά τις ίδιες πράξεις, χωρίς να απαιτείται πουθενά. Νομίζουμε ότι η εξοικείωση με τις πράξεις θα βοηθήσει στην απόλυτη κατανόηση της θεωρίας. Μεγάλο λάθος. Αν θα υποδείξουν κάτι οι πράξεις, αυτό θα είναι τα κενά που ΕΙΧΑΜΕ πιο πριν και θα έπρεπε να είχαμε ήδη εξαλείψει πριν προχωρήσουμε.
Χρειαζόμαστε την εξέλιξη. Πρέπει να γίνουμε καλύτεροι. Μάθαμε την πρόσθεση, γιατί να καταλήγουμε στο αποτέλεσμα $4+3=7$? Μάθαμε πώς να επιλύουμε το τριώνυμο, που σημαίνει ότι μπορούμε να προγραμματίσουμε έναν υπολογιστή να επιλύει ΚΑΘΕ τριώνυμο. Γιατί πρέπει να υπολογίζουμε κάθε φορά με χαρτί όλες τις περιπτώσεις? Δεν θα ξανα ανακαλύπτω τον τροχό.
Βέβαια τι θα γίνει αν έρθει καταστροφή στη γη, θα καούν όλα τα βιβλία, δεν θα υπάρχει ρεύμα να βρούμε πληροφορίες στο wikipedia και δεν θα μπορεί υπολογιστής να κάνει πράξεις για εμάς? Εκεί σίγουρα θα μας βοηθήσουν τα καρπούζια που μάθαμε να προσθέτουμε.
Εγώ πάω να πρήξω το geogebra να κάνει σωστά τις κωνικές τομές και το mathematica να υπολογίσει καμιά διαφορική, γιατί νομίζω σήμερα λουφάρουν και δεν κάνανε τίποτα.
